Två matematiker i Amsterdam Aafko Boonstra och Ronald Meester publicerade den 1 oktober en rapport ” Ett Bayesiansk ramverk för att analysera fall av påstått fusk med dolda koder inom sport, med tillämpningar i bridge och baseboll”.

De utvecklar ett statistiskt ramverk för att utvärdera bevis på påstått fusk med olagliga signaler inom sport ur ett rättsmedicinskt perspektiv. De förklarar varför istället för en frekvensmetod, krävs en Bayesiansk metod. De tillämpar detta ramverk på fall av påstått fusk inom professionell bridge och professionell baseboll. Skillnaden mellan dessa sporter visar metodens generella karaktär.

Bayes teorem (eller lag eller regel, av Thomas Bayes publicerad 1763) ger en matematisk regel för att invertera betingade sannolikheter, vilket gör att vi kan hitta sannolikheten för en orsak givet dess effekt.

Frekvensmetoder, såsom den välkända hypotestestningen och användningen av p-värden, används i stor utsträckning för att bedöma bevisvärdet av hypoteser. Det har emellertid insetts av många forskare att sådana frekvensmetoder inte är tillfredsställande, av ett antal skäl. Nyckelfrågan är att en frekvensmetod ger svar som förutsäger hur (o)sannolika uppgifterna är under antagandet om oskuld. Detta är dock ett svar på fel fråga. Det är inte alls intressant hur osannolikt uppgifterna är under en given hypotes. Den verkliga frågan är att givet data, vilken hypotes är mest trolig? Det faktum att uppgifterna var osannolika från början är inte längre viktigt när uppgifterna väl finns där. De måste förklaras och frågan är vilken hypotes som förklarar data bäst.

Denna fråga leder till övervägande av flera hypoteser och är faktiskt standard i rättsmedicinska frågor. Man formulerar minst två hypoteser och försöker sedan utvärdera hur väl dessa hypoteser förklarar data. Om den första hypotesen förklarar data (mycket) bättre än den andra (det vill säga sannolikheten för data under den första hypotesen är (mycket) högre än under den andra) så är data bevis för den första hypotesen i förhållande till den andra, och vice versa.

De två hypoteserna av intresse är för det första hypotesen att svaranden använde en viss kod, och för det andra att de inte använde någon kod alls. Detta tillvägagångssätt är av Bayesiansk natur. Detta är en viktig princip. Den betonar att endast en sannolikhetskvot kan mäta styrkan i bevisen, och att andra statistiska metoder inte kan göra det. Principen förutsätter implicit att man endast meningsfullt kan tala om bevisvärde på ett jämförande sätt.

Fallet Bridge
Det är obestridligt att Fantoni och Nunes (FN) varierade sättet de gjorde sina utspel. I de flesta fall kan utspelskorten identifieras som antingen tydligt horisontellt eller tydligt vertikalt. Teoretiskt finns det många möjliga koder som överför information om en hand genom att spela ut antingen horisontellt eller vertikalt. Givet en specifik sekvens av kort kombinerat med utspelets orientering, finns det förmodligen koder som passar dessa data perfekt. Dessa kan vara mycket sofistikerade koder, som använder många möjliga typer av villkor, men det kan också vara en mycket enkel kod.

De två hypoteserna
C: FN använde kod C; Om ett kort leds horisontellt, förnekar detta en topphonnör (ess, kung eller dam) i den utspelade färgen. Omvänt, om kortet spelas ut vertikalt, innebär detta att man har en topphonnör i färgen. Denna regel gäller (naturligtvis) inte om utspelet var en singel.
R: Utspelens orientering var slumpmässiga och oberoende av vilka kort som hölls.

Om spelarna följer koden C med sannolikhet p = 0,9 är det faktiska utfallet cirka 4 × 10˄19 gånger mer sannolikt under C än under R. Detta sannolikhetsförhållande är därför extremt högt, vilket ger extremt starkt stöd för C. Som ett riktmärke leder DNA-bevis till sannolikhetskvoter i storleksordningen maximalt 10˄9, så vi har att göra med en situation där sannolikhetskvoten är tio storleksordningar större än i DNA-sammanhang. Författarna av rapporten har aldrig sett ett sannolikhetsförhållande av denna storleksordning i sina fall.

Fallet Baseball
Beskrevs 2019 på en sportwebbplats när The Athletic rapporterade elektronisk ”signalstöld” av Houston Astros: ”Basebollens fokus är konkurrensen mellan slagare och kastare. Kastaren försöker få ut slagaren genom att få honom att missa tre slag eller slå ett svagt slag som gör det möjligt att bränna. För att störa slagaren varierar kastaren sina kast. Slagarens osäkerhet om kastarens avsikt är avgörande för kastarens framgång. Kastaren och hans fångare kommunicerar via fångarens handsignaler. Dessa handsignaler anger skruv och kastets placering.
Astros placerade videokameror i mitten av sin hemmaplan och lärde kameran tolka fångarens tecken. Information förmedlades i realtid till en operatör som gjorde ljudsignaler genom att slå på en papperskorg. I allmänhet motsvarade en eller två smällar en skruvboll, medan ingen smäll motsvarade en fastball (ett hårt och rakt kast).”

2020 sammanställde ett Astrosfan en databas över sitt lags hemmamatcher. Där registrerades ljud av över 8 200 slag tillsammans med tonhöjd.

De två hypoteserna
B: Astros använde kod B; Om fångaren ger ett tecken på en fastball, slogs inte på en papperskorg. Vice versa, om fångaren ger ett tecken på för en icke-fastball, slogs på papperskorgen.
R: Ljud från slag på papperskorgar uppstod oberoende av motståndarlagets kast.

I matcherna 31 juni och 1 juli mot New York Yankees, om laget följer koden B med sannolikhet p = 0,8, så är det faktiska utfallet 3,4 · 10˄30 gånger mer sannolikt under B än under R. Vi hittade höga värden för sannolikhetsförhållandet i de flesta hemmamatcher som spelades mellan 28 maj och 21 september. Att samla över all data leder till stora siffror som vi inte lätt kunde bearbeta, men matcherna mot Minnesota Twins (15 juli, 16), Toronto Blue Jays (4, 5, 6 augusti) och Chicago White Sox (19, 20, 21 september) ger sannolikhetsförhållanden för order 10˄9, 10˄23 respektive 10˄12. Mycket likt bridgefallet då de möjliga sätten att meningsfullt fuska med papperskorgsslag är begränsade, vilket mildrar B:s datadrivna natur.